七大数学难题2: 房子积木问题 (霍奇猜想)

难题二： 霍奇猜想　Hodge Conjecture

什么是霍奇猜想，用我的话说，就是“再好再复杂的一座房子，都可以由一堆积木垒成”---任何一个泥瓦匠都知的简单道理，连顽童也懂。稍微文皱点就是: 任何一个形状的几何图形，不管它有多复杂(只要你能想得出来)，它都可以用一堆简单的几何图形拼成。--- 就这么点事，数学家搞了50年, 并且毫无进展。

1958年，英国数学家，第13次国际数学大会的主席，W.V.D.Hodge霍奇教授提出：对于射影代数簇空间，在非奇异复射影代数簇上, 任何一个霍奇类都可以表达为代数闭链类的有理线性（几何部件的）组合。

二十世纪的前半叶，数学家希望得到研究复杂形状的方法。基本思想是：任何一个复杂形状都可以由一组简单的几何形状基本模块粘合形成。这是极其传统的数学方法．也是千年来欧几理得几何公理系统的原始思想。

问题是：在什么程度上（过程到底有多复杂），对于给定的复杂形状，我们可以通过把维数不断增加，把越来越多的简单几何基本模块粘合在一起，来形成该复杂形状。

数学家希望用这种思想，用各种不同类型的方式一步一步地扩展，最终建立一组强有力的代数方程或／和几何工具，使各种复杂的对象分类成一些具体的简单的几何对象及其组合。

问题是，在这种扩展过程中，几何出发点变得模糊起来――到底从那些简单几何对象组合起；组合的程序／序列又是什么。因此，必须加上一些没有任何几何解释的＂非几何＂基本模块。以期达到：在非奇异复射影代数簇上, 任何一个霍奇类对象都可以表示为代数闭链类的有理线性组合.―――这就是著名的霍奇猜想。

注：Hodge教授非常重视逻辑和组合等基础数学的重要性. 他认为应列在代数和数论之前。