悖论的启示

悖论杂谈 - 消失的方块

特有理

2014-11-18

悖论，是在哲学思考中必然出现的一种无法简单判定对错，但又引人深入思考的哲理性问题。悖论的英文Paradox，最早的中文翻译是：似是而非；而英文的原意则是：似非而是。随着网络的发展和东西文化交流的深入，象牙塔内的哲思问题被迅速扩展至世界范围，Paradox也有了新的含义。就像中文“悖论”这种全方位的表述，Paradox的词义也被修正为既包含似非而是，也包含了似是而非的思辨矛盾状态。悖论的出现，往往不仅是社会语言表达的不严谨或逻辑关系的不洽和，其深层次的原因是相同逻辑体系的缺陷（bug），以及不同逻辑体系的矛盾冲突所造成的。

原始的哲学悖论，主要产生于自然语言的不严谨和哲学逻辑体系的不完善；而近代的科学悖论则反映出科学系统中细微误差所导致的深入性矛盾和不同理论模型之间的不契合。

正如Wikipedia上解释的：“Most logical paradoxes are known to be invalid arguments but are still valuable in promoting critical thinking，许多已知不能自洽的逻辑悖论仍然具有引人思辨的价值”。悖论的存在向人们展示了人类文明发展中，思维轨迹上的关键点和矛盾点。同时，悖论的成因也揭示了人类语言表达的误差，特别是思维方法上的种种缺陷。即使经典的悖论有不少已经有了明确的解答，但相同实质、不同表达形式、不同表达方式、不同复杂程度的悖论仍然不断出现在社会思维的各个方面。许多经济和政治性的悖论，不但造成社会的思想矛盾，往往还会造成社会的动荡及流血的冲突。马克思的《资本论》就是一个典型的政治经济悖论，它的出现不但造成了全球范围内社会阶层的冲突，更造成了数以亿计的生命消陨和世界性的军事对立。

深入剖析一些经典的悖论，有助于我们找到人类思维中，原始起点失之毫厘的误差所在。面对日益复杂的社会结构，以及高速发展的科学技术，修正基础思维的偏差是防止人类不被自身文明摧毁的必要措施。

1、消失的方块

          
 【图1】

这个图形游戏是由美国魔术师Paul Curry在1953年发明，后又被美国数字游戏专家Martin Gardner在杂志《New York City》中予以介绍的智力游戏。图中显示：当把不同颜色的图块重新拼接后，如下图：图形底边有一个单元的方块竟然缺失了。在视觉感官上，每个色块的形状和尺寸都没有任何变化，图形的边角尺度范围也还是在相同的标格上。但消失的方块到哪去了呢？这虽然是一个几何方面的魔术，但同样也可以看做是一种视觉上的悖论，因为在人们几何学的印象中，简单的拼接转换是不会影响图形整体面积的。而当我们把上图的“三角形”进行镜像对拼时就会发现：在接合面之间出现了一条缝隙。原来谜底在于红、蓝两个三角形锐角的角度有细微的差别，因此，两个三角形在拼接出的斜边并不是真正的直线。也就是说，四个色块拼出的图形并不是真正的三角形。根据几何学的常识可以判定：上图的斜面是向下凹的；下图的斜面则是向上凸的。消失的方块部分被巧妙地转移到了红、蓝三角形所拼接的斜面上。而小方块的形状，从正方形变成了一个具有接近180^o大钝角的平行四边形。这个扁扁的平行四边形面积，实际上就等于一个单元格的面积。

【启示1】：通过分析得出，【图1】上边的“三角形”实际上是一个似是而非的伪三角形。抛开原设计者的魔术意图，这个图形的经典意义在于通过视觉的直观描述，向世人展示出：人的直观感觉，在对事物的分辨率上是有极限的。也就是说，人对事物感知的准确度与现实存在有误差。就像图中的斜面而言，人通过眼睛很难判定那是不是一条真正的直线。如果没有图块的重新拼接，隐藏的问题是不容易暴露的。要想检验图形是否符合直角三角形的定义，人们需要借助几何知识，以及相应的测量工具。在人类科技工程的实践中，有这样一个现象：越是精密的检验，越需要更多的科学模型的积累；越是复杂的验证，越需要更广泛的科学基础。也就是说：人的认知精度越高，所需的知识就要越多；或者推论说：要想认知的误差趋于零，所需的知识便会趋于无穷。这会不会导致哲学的一个基础性的悖论，即：世界不可知论？希望在后面的探讨中予以判断。但是可以肯定的是：人的认知误差，必然会导致思想的误差和行为的误差，进而便会导致人的思想矛盾和社会冲突。“天圆地方”这个观点曾经是古人类普遍的认知，“地球是宇宙中心”的思想也曾经神圣不可侵犯，质疑者还曾付出了生命的代价。中国古代的法家代表商鞅推崇“农战”思维，认为民众对知识的追求将会导致社会的混乱，主张愚民以强国。虽然这个方针使秦统一了中国，但秦的胜利却使中国从此被丛林法则所束缚，使得几千年的中国文化中缺少了科学的元素，进而导致了中国目前与先进文明的巨大差距。

【启示2】：在某种表达方式中的细微差别，在另外表达方式中的反映有可能很明显；反之，在某种表达方式中很明显的差别，在另外表达方式中可能会变得不易察觉。在图中，表现的就是三角形的角度和图形面积的差别。我们可以计算一下红、蓝两个直角三角形（假设图中标格是精准的），其中底边与斜边夹角的差别来体会一下。
设底边与斜边的夹角为θ，其中红色的为θ_r，蓝色的为θ_b。则：tg (θ_r) = 3/8,
tg (θ_b) = 2/5; 因此：θ_r = tg^-1，(3/8), θ_b = tg^-1 (2/5); 得出：θ_r = 20.556^o；θ_b = 21.801^o

两个角度的差为：Δ θ = |θ_b – θ_r| = |21.801^o - 20.556^o| = 1.245^o

与算数平均值的差比为：Δ θ/ (|θ_b + θ_r|/2) = 5.88%。

在面积方面，设标格的单位长度为1，可以相对简单地得出：

伪三角形的面积：S₁ = (5x13) / 2 – 1/2 = 32

如果是真正的三角形，其面积：S₂ = (5x13) / 2 = 32.5

面积差为：Δ S = S₂ - S1 = 32.5 – 32 = 0.5

与算数平均值的差比为：Δ S/ (|S₁ + S₂|/2) = 1.55%

计算的数据显示：面积的差比甚至比角度的差比还小，但正是由于下边图块的拼接方式发生了改变，也就是位置的表达方式发生了改变，角度的误差就很明显地通过缺失的方块表现了出来。

但是，这并不是说面积的差异一定比角度的差异更容易识别。设想比较上下两个图形的包络面积，也就是重新拼接后的缺口被掩盖时，仅凭肉眼几乎无法发现两个图形的差别，无论是角度，还是面积。这就给了我们另一个启示。

【启示3】：要想判别一个事物是否为另一个事物的不同表达方式，也就是其本质是否一样时，必须确定二者的基本模块或基本分量元素是相同的。在这个问题中，我们首先要验证的，就是【图1】上边的四个色块在变换位置后，有没有被近似的图块所替代。此题中的标格给了我们检验的标准。值得注意的是：给出的标格是我们凭视觉做出判断的最大精度，也就是说我们只能通过标格度量出的信息进行判断，即三角形及多边形的边长是什么样的长度关系；但是我们无法分辨出色块自身的几何特性是否被巧妙地篡改，如每个三角形色块本身的斜边是否真正是直线? 这也印证了【启示1】中的描述。

这个启示给了人们思辨中一个必要的原则，从而使得我们的思维不至于在事物表达形式的变换中迷失。这个原则之所以重要，一方面是因为人类自身表达方式的多样化并具有误差的自然分布；一方面也是因为人的认知水平在不断提高，对事物的描述和表达也会不断变化；更是因为有的人会在转换表达方式时，故意对事物的某些模块进行巧妙地篡改，从而最终达到完全改变事物概念的目的。

【启示4】：在事物的描述中，有些误差是绝对的，有些则是相对的。很大的相对误差，有可能来自于很小的绝对误差。根据几何常识，角度的误差是不会虽空间尺度的变化而变化的，这是一个非常奇妙的自然现象。最常用到的实例，就是放大镜无法将角度放大。（其中的涵义希望有机会深入探讨）。然而图中方块的尺寸是相对的，它的尺度可以是一毫米，也可以是一光年。可想而知，这样的误差在大尺度时，会对人们产生什么样的影响。根据这个启示，我们应该在遇到任何问题时，都要对任何细微的误差和描述的差别予以重视，因为它很有可能就是灾难性后果的根源。同时，更要警惕故意而为的微小误差和蓄意淡化的细节差异。

确定差异的性质是非常关键的一部，其中涉及事物的相关性和时序过程的数学描述。这需要后续的详细解析。在这个图形的问题中差异的性质是直观的，因而也很容易判定。在现实问题中，能够用数学模型描述的事物，也可以通过数学分析将误差性质予以确认。难点是那些目前还不能用数学模型描述的事物，如人文、社会、政治。因此，创立对这类事物的建模理论将会极大推动人类文明的发展。

经过以上的铺垫，希望之后的悖论解析更加明确和透彻。