抽象代数中的基本概念

抽象代数研究符号运算的性质、代数系统之间的关系以及分类。究竟有多少种运算？那要看运算的对象。我们已经有了实数、复数、四元数/2^n元数、向量、矩阵、张量、集合、范畴，也许还会有别的新发现；而运算可以是完全抽象的，你只要能把一个对象变成另外一个对象，或是把两个或者更多个对象捏成一个对象都算。一个m元运算指的是，对于对象集S中的任意m个元素，按照一个给定的规则，都确定了一个S中的唯一的一个元素。

给定一个非空集合，我们可以在其中任意地定义运算，但这些运算需要满足一些特定的性质，才能形成某种结构。如果把一元运算理解为几何形体的变换，人们自然希望能保持某种几何特性。在点集拓扑学中，形状即是点集；如何把一个/多个集合变成另一个集合，有五种基本方式：（1）找子集或投影，（2）作集合的并、交，（3）作Descartes乘积、也就是构造有序组，可以定以一个更大的集，（4）按照一种运算生成，（5）按等价关系构造商集。

一个集合M上的二元关系R称为是等价的，如果它满足三个条件：（1）自反性：对于M中的任意x，有xRx；（2）对称性：xRy → yRx，（3）传递性：xRy，yRz → xRz。记R(x)为所有与x等价的元素的集合，则对于任意的x, y，R(x)和R(y)要么相等，要么不相交。所有这些等价类的集合，就称为M关于R的商集，记为M/R。等价关系等同于满射。

格定义在一个偏序集M上。M中的一个关系«称为一个偏序关系，如果它满足以下三条公理：

自反性：对M中的任何元素a,都有a«a；

恒等性：若a«b, b«a,那么a = b;

传递性：若a « b, b « c,那么，a « c.

具体的例子有，实数的小于/等于关系，集合的包含关系，命题的蕴含关系等。

如果任何两个元素a, b都有唯一的最小公共大元c，即a « c, b « c, c就叫a与b的和，M称为上半格；如果任何两个元素a, b都有唯一的最大公共小元d，d就叫a与b的积；M叫做下半格。既是上半格又是下半格的偏序集，就叫做一个格。

群G是具有一个二元运算（称为乘法*）的集合，要求其运算满足三条公理：

结合律：对G中任意三个元素a, b, c，a*(b*c) = (a*b)*c;

单位元e：对任何G中元素a，e*a = a*e = a;

逆元：对G中任何元素a，都存在G中唯一的一个元素b，满足a*b = b*a = e.

如果乘法运算满足交换律，这个群就叫做交换群。如果集合G只有有限个元素，就叫有限群，否则就是无限群。如果只要求结合律，就称为一个半群。

在一个群内部，元素还可以分类，如共轭元素类、生成元；如果是有限群，每个元素都有有限的阶数。一个子集，如果在给定运算封闭，就形成了一个子群。再定义陪集、不变子群的概念，就可以构造出商群。给定有限个群及各自的运算，作Descartes乘积；对于交换群，则是直和。这些就是成群的基本方式。

群的种类数之不尽。已被深入研究的群有：置换群（所有排列组成的群）、变换群（如反射、旋转）、晶体群（表示晶体的所有结构）、伽罗瓦群、李群、拓扑群、基本群、扭结群等。在两个不同的群之间，有同构、同态的概念。同构是两个群之间保持运算的一一对应，而同态不要求一一对应，只要是单值的、保持运算的对应即可。可以证明，任何一个有限群都与它的元素集合的某个置换群同构。

在同态的概念下，群有n阶矩阵表示：如果对于群G的每个元素g,都有一个确定的n阶可逆矩阵A(g)与之对应，使得A(gh) = A(g)A(h)。【事实上，复数域上的所有n阶可逆矩阵在矩阵乘法下构成一个群】。群的矩阵表示有无穷多个，可以用矩阵的等价来定义表示的等价关系；也可以用分块对角矩阵把两个表示“合并”起来；这样，利用等价的对角型矩阵，就有了可约与不可约表示的概念。

对于具有两个运算的系统，我们有域和环。

一个域具有两个二运算，分别叫做叫法和乘法，在每种运算下都是一个交换群，而且乘法对加法满足分配律。常见的数域有，有限域F（p^k）(p为质数，又称Galois域)，有理数域Q，实数域R，复数域C。我们可以“添加”一些线性无关的元素到一个已知域中，得到一个更大的数域；但是，比C更大的数域不存在：四元数等不满足交换律。

一个环具有加法，要求形成交换群；一个乘法，满足对加法的分配律（不要求有逆元、也不要求满足交换律或结合律）；例如，n阶矩阵的集合构成一个环。如果乘法满足交换律，就叫交换环。一个环的理想子环，是环的一个子集，它本身在给定的加法和乘法下构成一个环。对每个理想子环，可以构造商环。

一般的环中可能具有零因子。没有零因子的可交换环叫做整环；比如所有整数的集合Z构成一个整环；R【x】也是一个整环。在整环中，可以引进素元的概念，但是，素因子分解的唯一性定理不一定成立。

一个域F上的结合代数系统S，具有三种运算：F中的数乘以S中的元素，结果仍在S中；S中的元数具有加法和乘法两种运算。两个元素相加还在S中；相乘的结果，可以是一个数，也可以是S中的元素。这些运算需要满足以下公理：

S中元素加法满足交换律、结合律，有零元；

S中的乘法对加法满足左、右分配律；零元乘以任何元素得零元；

F中的数乘对S中的加法满足分配律；F中的加法对S的数乘也有分配律；

F中的数乘对S中的乘法有结合律；F中的乘法对S的数乘也有结合律。

S中存在一个基底。

结合代数可以同态于矩阵代数。如果不要求S中的乘法，这就定义了F上的一个线性空间S。在非结合的代数系统中，最有趣的是李代数，它与李群（即连续群）有密切的联系。它的乘法运算满足：ab = -ba , a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0. 每一个李代数都存在一个同构的矩阵代数。

代数学中没有连续性的概念，这是它的客观性质。离散与连续是辩证的统一：连续是由离散构成的，而在连续性中不收敛的对象，就看作一个个的离散体好了。分析研究的是变换，是一元运算；代数研究的二元运算；有三种运算的系统，就等同于内积空间或者矢量积空间了。在一般的距离空间中，集合的完备化可以通过等价关系实现；如果是有限维的，还可以展开分析学。